八年级奥数同步练习试题

时间:2023-06-12 22:17:51
八年级奥数同步练习试题

八年级奥数同步练习试题

导语:国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办,经费由东道国提供;但旅费由参赛国自理。下面就由小编为大家带来八年级奥数同步练习试题,大家一起去看看怎么做吧!

Ⅰ四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,E、F分别是AB、CD的中点,连结EF交BD、AC于M、N,若AC=BD,求证:OM=ON

Ⅱ四边形ABCD中,E、F、P、Q分别是AD、BC、BD、AC的中点,M、N分别是PB、QC的中点,求证EF平分MN。

Ⅲ四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,BA延长线交FE延长线于点G,CD延长线交FE延长线于点H。求证:,∠BGF=∠CHF。

Ⅳ在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,延长BC到M,N是BM的中点,H是EN的中点,连结DH交BM于F。求证:CF=FM

Ⅴ△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC,E是BC中点,求证:AB=2DE

Ⅵ梯形ABCD中,AB平行DC,∠D+∠C=90°,E、F分别是AB、DC的中点,求证:EF=1/2(DC-AB)

Ⅶ已知AH是△ABC中∠BAC的角平分线,在AB、AC上分别截取BD=CE,M是DE的中点,N是BC的中点,求证:MN平行AH

Ⅸ已知,△ABC中,AB=AC,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,CM⊥BC交BD延长线于M,MF⊥AB于F。求证:BE=EF

以下主要用到平行四边形的基本性质和角平分线定理(若AD平分角BAC,交BC于D,则AB/AC=BD/BC。证明也是用中位线的.。)

I 过D作AC的平行线,过C作AD的平行线,二者相交于G,延长EF交DG于H。则ACGD是平行四边形,从而对角线AG与CD互相平分,于是A、F、G三点共线且EF是三角形ABG的中位线。这样,EF平行于BG,角DMH=角DBG,角DHM=角DGB。但是DG=AC=BD,所以三角形DBG是等腰三角形,于是角DBG=角DGB,得到角DMH=角DHM。又因为DG平行于AC,角DHM=角ONM,而角DMH与角OMN是对顶角,从而角ONM=角 OMN,得到OM=ON。

II 由中位线性质可知,EPFQ是平行四边形,从而EF平分PQ。设EF交PQ于O,则ON是三角形QPC的中位线,于是ON平行于CP且 ON=1/2(CP)。另外,FM是三角形BPC的中位线,于是FM平行于CP且FM=1/2(CP)。这样,FMON是平行四边形,对角线互相平分,于是FO平分MN,也即EF平分MN。

III 将三角形DEH旋转180度,使得D与A重合。设C、H、F分别变成I,J,K。则角IKE=角CFE,从而IK平行于BF。但是BF=FC=IK,于是 BF与IK平行且相等,即:BFKI是平行四边形,于是BI平行于JG。于是角AIB=角AJG,角ABI=角AGJ。此时由于AI=CD=AB,角 AIB=角ABI,于是角AJG=角AGJ。但是角AJG=角DHE,于是角DHE=角AGJ,也即角BGF=角CHF。

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